a のゼロ乗が１なのは… ２

次に『数学ガール フェルマーの最終定理』結城浩著での扱いを見てみましょう。

「２^３（２の３乗）という数式を見たとき、僕たちは＜指数＞--つまり２の右肩に乗っている３のこと--は２を＜掛ける個数＞を表していると習う。」
２^３＝２×２×２
「え、それ、まちがいなの？」ユーリが言った。
「いや、まちがいじゃない。完全に正しい。もしも指数が１，２，３，４，．．．ならば、指数は＜掛ける個数＞を表しているといってもいい。もっとも、指数が１のときは実質的に掛け算していないけれど、まあ分かるよね」 p.269

至極まともなことを言っているように見えますが、デカルトに戻って考えてみると、「もっとも、指数が１のときは実質的に掛け算していないけれど、まあ分かるよね」、ここに疑問符が付くことになります。それは後のお楽しみにしてゼロ乗の説明を見てみましょう。

「では指数が０のときはどうだろう。２^０の値は？」と僕は言った。
「それは０でしょ」とユーリが言った。
「え、１ですよね」とテトラちゃんが言った。
「テトラちゃんが正解。２^０は１に等しいんだ」
２^０＝１
「え、なんで？掛ける個数が０個だよ。なのに０じゃないわけ？」
「……テトラちゃんはなぜ２^０＝１になるか説明できる？」
「え、あたし、ですか。……うまく説明できません。すみません」
「こんなふうに考えると納得がいく。２^４，２^３，２^２，２^１，２^０のように指数を１づつ減らしていくとしよう。そうすると、計算結果はどのように変化するかな」 p.270

さて計算してみると答えは、１６，８，４，２と指数が一つ減るごとに２分の１になっています。すると２^０は２^１＝２の２分の１、すなわち１となります。

「２の半分だから……あ、１になるのか。へえ。２^０＝１なんだ」
「そうだね。だから、２^０＝１と定めることにする。」
「えー、でもー、なんだか納得いかにゃい」 p.270

とうとうネコ言葉になってしまいました。それでこんなことを言われることになります。

「ほらほら、発想が＜掛ける個数＞にまた戻っているよ。あのね、指数を＜掛ける個数＞だと考えている限り、納得することはないんだよ。納得したとしても、なんだか無理矢理こじつけたような気分になる。」 p.271

このあと＜掛ける個数＞、＜２を何回掛けたか＞という発想から離れて、指数法則自体から、指数法則を守るように指数を定義するという方向に導かれます。

「たとえば２^０の値を調べよう。指数は指数法則を満たす。
２^ｓ×２^ｔ＝２^ｓ＋ｔ
だから、指数法則にｓ＝１，ｔ＝０ を代入した等式も成り立たなくちゃ困る」
２^１×２^０＝２^１＋０
「へえ……それで？」
「右辺の指数１＋０＝１ を計算すると、次の等式が成り立つ。
２^１×２^０＝２^１
指数法則から２^１の値はわかる。２^１＝２ だ。よって次の等式を得る。
２×２^０＝２
両辺を２で割れば、２^０の値が１ に定まるね」 p.273

しかしこれこそ「なんだか無理矢理こじつけたような気分になる」 のではないでしょうか? 著者は早く何個掛ける発想から卒業しないといけないぞというのですが、文系の私はついネコ言葉を使いたくなってしまいます。